viernes, 11 de enero de 2008

resuelve este problema

La cabra pastandoUna cabra está atada con una cuerda en el borde externo de un corral circular de 24 m de perímetro. La longitud de la cuerda es la mitad del perímetro del corral. ¿qué superficie de cuerda puede alcanzar la cabra?
Este problema es en apariencia sencillo, sin embargo no es tan simple y, para resolverlo vamos a tener que recurrir a algunas estrategias de resolución de problemas.
Para abordarlo es conveniente que:
a) dibujes un diagrama de la situación. No es tan fácil. b) inténtalo utilizando un tubo cilíndrico y un hilo.
La superficie dibujada no se parece a ninguna de las formas planas cuya área conoces.
ESTRATEGIA: Imagínate un problema parecido pero más sencillo Cambia el corral circular por uno cuadrado del mismo perímetro. Ahora el problema es bastante más sencillo. Dibuja un diagrama de la situación actual. Observa que las regiones que se forman son sectores circulares cuyos radios y amplitudes respectivas puedes deducir facílmente. Cambia el cuadrado por un octógono y repite el proceso

La edad de AlfredoAlfredo, ¿sabes que yo tengo cuatro veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tienes tú ahora? ¿Sabes también que cuando tú tengas la edad que yo tengo ahora, tendremos entre los dos 114 años?
¿Qué edad tiene Alfredo? y ¿yo?
Sugerencia: lee con atención, piensa en la diferencia de edad entre ambos y en que los años pasan para los dos igual. Utiliza ecuaciones si te hace falta.
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MISCELÁNEA DE PROBLEMAS POR NIVELES DE DIFICULTAD
Nivel de dificultad 11. En la película "La jungla de cristal 2", el malo propone a McCane y a su amigo un problema. Para desactivar una bomba tienen que colocar sobre una maleta una garrafa con 4 litros de agua, pero sólo disponen de una garrafa de 5 litros y otra de 3 litros, ¿cómo lo resuelven?
2. Tres amigos tienen 21 botes de coca-cola, 7 de ellos están llenos, 7 vacíos y 7 llenos hasta la mitad exactamente. ¿Cómo deben repartirse los botes para que los tres se lleven el mismo número de botes y la misma cantidad de coca-cola? ( No se puede trasvasar de un bote a otro)
3. ¿Cómo te las ingeniarías para cortar en 8 trozos iguales un disco de papel, dando sólo tres cortes rectos?

Nivel 2.1. Un excursionista sale de su casa a las 4 de la tarde para subir a una montaña. Hasta la base de la montaña el terreno es llano y avanza a 4 km/h, subiendo va a 3 km/h y bajando a 6 km/h. Si regresa a las 10 de la noche, ¿cuántos kms ha recorrido en total?
2. ¿Cuántas veces a lo largo de un día las agujas de un reloj forman un ángulo recto?
3. Tres cervezas, 7 refrescos y una ración de calamares cuestan 2800 pts; 4 cervezas, 10 refrescos y una ración cuestan 3400 pts. ¿Cuánto habrá que pagar por una cerveza, un refresco y una ración?

Nivel 3.1. El problema de Newton
En un campo la hierba crece en todas partes con igual rapidez y espesura. Sa sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días y 30 vacas en 60 días. ¿Cuántas vacas serían necesarias para comerse toda la hierba en 96 días?
2. Una brigada está formada por 6 armadores y un carpintero. Cada armador gana 20.000 ptas y el carpintero 3.000 ptas más que el salario medio de los miembros de la brigada incluído el mismo. ¿Cuánto ganaba el carpintero?
3. Un coche va por una carrtera a velocidad constante. En un momento dado pasa por delante de un poste kilométrico que tiene un número de dos cifras. Al cabo de una hora pasa por delante de otro poste que curiosamente tiene las mismas dos cifras pero en oden inverso. Su sorpresa es enorme cuando al acbo de otra hora pasa por otro poste que lleva las mismas cifras separadas por un cero. ¿A qué velocidad va el coche?
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VISIÓN ESPACIAL

!desarrolla la estrategia de Polya !

La concepción de un planUn plan de ejecución del problema. Es decir, cómo lo vamos a hacer.En este aspecto es preciso asumir el viejo aforismo ajedrecista: es mejor tener un mal plan que no tener ningún plan.Por lo general, las buenas ideas se basan en las experiencias previas y en los conocimientos adquiridos.El profesor puede mediante preguntas y sugerencias ir acercando al alumno a la situación que le permita trazar un plan de resolución.Los comentarios que harán aflorar el plan de trabajo que, tanto en lo que se refiera a su totalidad como en lo que concierna a sus diversas partes, debe ser comentado como ocurrencia y descubrimiento de los alumnos, podrían ser de este estilo:- ¿Conoces algún problema relacionado con éste?- Trata de pensar en algún problema familiar que tenga la misma incógnita.- He aquí un problema relacionado con éste, y ya resuelto, ¿puedes hacer uso de él?- ¿Puede enunciarse el problema de forma diferente?- Si no puedes resolver el problema, trata de resolver alguno relacionado con él.Este tipo de orientaciones, los recuerdos de otros problemas ya resueltos, el entorno en el que se mueve el problema y la propia forma de ser del resolutor, desembocarán en la elección de un plan de trabajo, de una estrategia de resolución.La ejecución del planDurante el proceso de resolución es conveniente evitar el hacer por hacer. Hay que ser conscientes del porqué hacemos las cosas. De modo que, aún cuando la resolución nos implique afectivamente, debemos reservarnos la capacidad de tomar la suficiente distancia al mismo como para posibilitar la verificación de cada paso.Para aquellas personas que entienden cada problema como un desafío, una aventura llena de misterios, un enigma a resolver, la ejecución del plan es la aventura en sí misma. Hasta el punto de que, en algunos problemas, llegamos a darnos cuenta de que la solución no es lo más interesante ya que el proceso de resolución puede resultar apasionante y divertido en sí mismo.Una persona imaginativa, llegará a creer que se adentra en una intrincada selva en la que le acechan todo tipo de peligros. Y al ir avanzando, el camino se bifurcará una y mil veces. ¿Qué camino coger? En ocasiones, se verá muy claro cuál es el sendero que conviene seguir, pero el otro camino nos parecerá más atractivo porque el paisaje que se intuye en su transcurso sea mucho más espectacular.En cada encrucijada, nos asaltarán la duda y la angustia. La duda, porque no siempre es fácil saber que camino hay que seguir. La angustia, porque elegir un camino supone dejar otro y nunca sabremos qué había al final de un sendero no recorrido. Pero, ¿no queremos que las Matemáticas no se alejen de la vida real? Pues, la vida consiste en eso: en elegir una cosa sabiendo que se dejan otras y que nunca sabremos cómo eran.Pero, los problemas tienen una ventaja. Y es, que siempre podemos volver sobre los propios pasos e investigar alguna línea secundaria que nos haya parecido interesante.En definitiva, la ejecución del plan adoptado va a requerir que tengamos claras y permanentemente presentes dos cosas: para qué hacemos lo que hacemos y que si un camino no lleva a ninguna salida habrá que dejarlo e iniciar otro.Además de la "desviación del objetivo" y de la "persistencia en una estrategia errónea", hay otros motivos que explican los posibles errores y bloqueos que pueden surgir en el proceso de resolución de un problema. Pero, ya los consideraremos en otro momento.El examen de la solución obtenidaYa hemos llegado a la solución del problema. ¡Ya está resuelto! La dosis de satisfacción que se recibe es tan elevada que podemos llegar a creer que ya hemos terminado. Pero, no es así.Resulta muy útil recordar el problema desde el principio. Volver a leer el enunciado y considerar si se ha encontrado lo que se pedía, ayudará a evitar errores referentes a la desviación del objetivo. También puede ayudar a decidir si la respuesta puede ser la correcta o no.Con preguntas como: ¿cuál era la información importante?, ¿presentaba contradicciones o redundancias?, ¿había información contaminante?, ¿podrías esquematizar el plan seguido?, ¿has seguido ese plan o te has desviado inconscientemente?, ¿has tenido que desviarte voluntariamente para obtener datos complementarios intermedios?, ¿has tenido algún bloqueo o alguna dificultad?, ¿cuál?, ¿cómo has conseguido superar ese bloqueo o dificultad?, ¿has encontrado alguna línea secundaria que te gustaría investigar?, ¿la has investigado?, ¿a qué conclusiones te ha llevado?, ¿puedes verificar el resultado?, ¿se puede obtener el resultado de otro modo?, ¿se puede utilizar este método para resolver algún otro problema?, ¿se han empleado todos los datos?, ¿qué conocimientos has utilizado?, ¿qué has aprendido?, ¿qué aspectos de este problema se podrían aplicar a otras situaciones?, se puede realizar una visión retrospectiva que enseñará mucho ya que pondrán de manifiesto las relaciones del problema con otras cuestiones y los lugares en los que han surgido las dificultades.Si la resolución de un problema es una aventura, los recuerdos de esa aventura es lo que nos irá quedando como bagaje de resolución, y cuantos más problemas resolvamos, mayor práctica tendremos y mejor preparados estaremos para resolver nuevos problemas.Artículos relacionados